Analisando Gráficos de Funções Racionais da Forma onde o Grau de f(x) < o Grau de g(x).

Uma função racional é uma função f da forma , onde p(x) e q(x ) são polinomiais.

Para uma função racional tal como ,o domínio da função e a assímptota vertical pode ser determinada pela fatoração do denominador,colocando cada fator igual a 0, e solucionando cada equação resultante. Observe como Maple V pode atender esse processo.

> restart;

> y:=(x+1)/(x^2-x-6);

> factor(y);

Quais são os zeros do denominador?

R: x = 3 e x = - 2

Quais valores de x devem ser excluidos do domínio?

R: 3 e - 2

Descreva o domínio da funçao f.

R: { x | - < x < -2 U - 2 < x < 3 U 3 < x < }

Preveja as equações das assímptotas vertical.

R: x = 3 e x = - 2 .

Examine o gráfico de .

> restart;

> h:= (x+1)/(x^2-x-6);

> plot(h,x=-6..4,y=-6..6);

Compare a posição prevista da assímptota vertical com a posição da assímptota vertical indicada pelo gráfico acima.

R: Eles são os mesmos.

Identifique todas as assímptotas verticais para essa função racional.

R: x = -2 e x = 3 .

Baseado no gráfico, descreva o que acontece ao valor de y enquanto x se torna muito grande (aumenta sem limites).

R: O valor de y aproxima-se de 0 enquanto x se torna muito grande.

Torna-se muito pequeno (decresce sem limite).

R: O valor de y aproxima-se de 0 enquanto x torna-se muito pequeno.

Existe qualquer valor de y o qual o gráfico aproxima? Se existe, determine este valor e expresse como uma equação.

R: y = 0 .

Analisando Gráficos de Funções Racionais da Forma
onde o grau de f(x) = grau de g(x)

Examine o gráfico da função .

> restart:

> with(plots):

> y[1]:=3*x^3/(x^3+1):

> plot(y[1],x=-3..3,y=-10..10);

Baseado no gráfico de , determine a equação da assímptota horizontal .

R: y = 3 .

Fatorando o denominador de se torna o seguinte.

R:

> factor (y[1]);

Note que a fatoração do Maple não abrange os números complexos.

Preveja o número da assímptota vertical e justifique sua previsão.

R: Irá existir uma assímptota vertical desde que exista um valor real que pode levar o denominador a ser igual a 0.

Compare o número da assímptota vertical indicada pelo gráfico com a sua previsão.

R: Ambos os gráficos e a previsão baseada na forma fatorada da equação sugerida possuem uma assímptota vertical.

Escreva a equação(s) de qualquer assímptota(s) vertical .

R: x = -1 .

Considere o gráfico de .

> restart:

> with(plots):

> y[2]:= 2*x^4/(x^4-1):

> plot(y[2],x=-3..3,y=-10..10);

Olhando o gráfico, determine a equação de qualquer assímptota horizontal.

R: y = 2 .

A equação(s) de qualquer assímptota vertical pode ser obtido fatorando e/ou construindo gráficos.

> factor(y[2]);

Determine as equações de qualquer assímptota vertical.

R: x = -1 e x = 1 .

Examine o gráfico linha de = 2 adicionado ao gráfico de .

> restart:

> with(plots):

> a:=(plot (2,x=-2..2,y=-20..20)):

> b:=(plot (2*x^4/(x^4-1),x=-2..2,y=-20..20)):

> display({a,b});

Como esse gráfico linha compara para a determinação clássica da assímptota horizontal ?

R: O gráfico linha está na mesma posição da assimptota horizontal.

Formule uma conjectura com relação a posição da assímptota horizontal para funções racionais cuja potência dos numeradores são iguais as potências dos denominadores.

R: Uma assímptota horizontal para uma função racional cujo potência do numerador é igual a potência do denominador está posicionada em y igual ao raio, formado usando o coeficiente da maior potência no numerador e o coeficiente da maior potência no denominador.

Analisando Gráficos com Assímptotas Oblíquas

Considere o gráfico de .

> restart:

> with(plots):

> y[5]:=(16*x^2-4*x-8)/(x-1):

> plot(y[5],x=-4..4,y=-20..60);

Determine as equações de todas as assímptotas verticais.

R: x = 1 .

Discuta o que você observa do gráfico sobre assímptota horizontal e oblíqua.

R: Não existe assímptota horizontal , e sim uma assímptota oblíqua.

Qual é a relação existente entre o grau do numerador e o grau do denominador?

R: O grau do numerador é um a mais do que o grau do denominador.

Examine abaixo como a equação da assímptota oblíqua é determinada algébricamente usando o Maple V .

> expand(y[5]);

Como o valor de x aumenta sem limite, o termo envolvendo x - 1 aproxima-se de zero e a equação y = 16x + 12 é a assímptota oblíqua.

Adicionando a equação da assímptota oblíqua ao gráfico da função racional produzimos o seguinte gráfico.

> restart:

> with(plots):

> a:=plot((16*x^2-4*x-8)/(x-1),x=-5..5,y=-20..100):

> b:=plot(16*x+12,x=-5..5,y=-20..100):

> display({a,b});

Aprofundando seus Conhecimentos

Considere uma função racional com uma assímptota horizontal de y = - 2 e vertical de x =-5 e x = 2 .

Determine uma equação satisfazendo estas condições.
NOTA: As respostas irão variar.

> restart;

> y[8]:=(-2*x^2)/((x+5)*(x-2));

> expand(y[8]);

Construa o gráfico da função racional e esta assímptota horizontal.

> with(plots):

> c:=plot(-2*x^2/((x+5)*(x-2)),x=-20..10,y=-6..4):

> d:=plot(-2,x=-20..10,y=-6..4):

> display({c,d});

Uma função racional tem uma assímptota vertical de x = -3 e uma assímptota oblíqua de y = 4x - 2 .

Determine uma equação satisfazendo estas condições.
NOTA: As respostas irão variar.

> restart;

> (4*x-2)*(x+3);

> expand(%);

> y[10]:=(4*x^2+10*x+18)/(x+3);

Construa o gráfico da função e desta assímptota oblíqua.

> restart;

> with(plots):

> a:=plot ((4*x^2+10*x+18)/(x+3),x=-10..5,y=-100..50):

> b:=plot (4*x-2,x=-10..5,y=-100..50):

> display({a,b});

Explique onde uma função racional pode ter ambos uma assímptota horizontal e uma assímptota oblíqua .

R: Uma função racional pode não ter simultâneamente uma assímptota horizontal e uma assímptota oblíqua já que uma assímptota horizontal ocorre quando o numerador e denominador tem potências iguais, e uma assímptota oblíqua ocorre quando a potência do numerador é maior do que a potência do denominador.